Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Проведём две высоты трапеции: $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$ и $CK$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Так как высоты трапеции перпендикулярны основаниям, то $BH \perp AD$ и $CK \perp AD$. Кроме того, высоты трапеции равны между собой: $BH = CK$.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $CKD$ (угол $K = 90^\circ$). Нам известен угол $BCD = 120^\circ$. Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Значит, угол $CDK = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

3) В треугольнике $CKD$ найдём катет $CK$ через гипотенузу $CD = 34$ и синус угла $D$:
$CK = CD \cdot \sin(60^\circ) = 34 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 17\sqrt{3}$.

4) Так как $BH = CK$, то высота $BH = 17\sqrt{3}$.

5) Теперь рассмотрим треугольник $ABH$. По условию угол $ABC = 45^\circ$. Однако для нахождения стороны $AB$ нам удобнее рассмотреть угол $BAH$. Так как $BC \parallel AD$, сумма углов $ABC$ и $BAH$ равна $180^\circ$. Но здесь есть нюанс: если угол $ABC$ тупой, то $BAH$ острый. В данной задаче угол $ABC = 45^\circ$ — это угол при вершине $B$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ (где $BH$ — высота) угол $ABH$ будет равен $|ABC - 90^\circ|$ или мы можем найти угол $A$ через свойство параллельных прямых. Сумма углов $ABC$ и $BAH$ равна $180^\circ$ только если трапеция стандартно ориентирована, но угол $ABC = 45^\circ$ означает, что угол $A$ должен быть тупым ($180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$).

6) В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол при вершине $A$ равен $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ (внешний по отношению к треугольнику) или, проще говоря, острый угол между боковой стороной $AB$ и продолжением основания равен $45^\circ$. Тогда:
$AB = \frac{BH}{\sin(45^\circ)} = \frac{17\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{34\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.

7) Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$AB = \frac{34\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = 17\sqrt{6}$.

Ответ: $17\sqrt{6}$

Источник: ФИПИ