Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ не имеют общих точек, и ни одна
из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $a : b$ . Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $a : b$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Пусть $R_1$ — радиус окружности с центром в точке $P$ , а $R_2$ — радиус окружности с центром в точке $Q$ . Проведём общую внутреннюю касательную к этим окружностям. Пусть она касается первой окружности в точке $A$ , а второй — в точке $B$ .

2. Отрезок $PQ$ , соединяющий центры окружностей, пересекает касательную $AB$ в некоторой точке $M$ . По условию задачи точка $M$ делит отрезок $PQ$ в отношении $a : b$ , то есть $PM : MQ = a : b$ .

3. Рассмотрим треугольники $PAM$ и $QBM$ .
— Радиус $PA$ перпендикулярен касательной $AB$ в точке касания, значит, $\angle PAM = 90^\circ$ .
— Радиус $QB$ также перпендикулярен касательной $AB$ , значит, $\angle QBM = 90^\circ$ .
— Углы $AMP$ и $BMQ$ равны как вертикальные.

4. Из равенства двух углов следует, что треугольники $PAM$ и $QBM$ подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам).

5. Из подобия треугольников вытекает пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{PA}{QB} = \frac{PM}{MQ}$ .

6. Подставим известные значения в это отношение:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{a}{b}$ .

7. Нам нужно доказать утверждение для диаметров. Обозначим диаметры как $D_1$ и $D_2$ . Так как $D_1 = 2R_1$ и $D_2 = 2R_2$ , то:
$\frac{D_1}{D_2} = \frac{2R_1}{2R_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{a}{b}$ .

Таким образом, отношение диаметров окружностей равно $a : b$ , что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ