Задание №24 — Геометрия

#47925Задание №24ФИПИ

Окружность и круг

Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ не имеют общих точек, и ни одна
из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $a : b$ . Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $a : b$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Пусть $R_1$ — радиус окружности с центром в точке $P$ , а $R_2$ — радиус окружности с центром в точке $Q$ . Проведём общую внутреннюю касательную к этим окружностям. Пусть она касается первой окружности в точке $A$ , а второй — в точке $B$ .

2. Отрезок $PQ$ , соединяющий центры окружностей, пересекает касательную $AB$ в некоторой точке $M$ . По условию задачи точка $M$ делит отрезок $PQ$ в отношении $a : b$ , то есть $PM : MQ = a : b$ .

3. Рассмотрим треугольники $PAM$ и $QBM$ .
— Радиус $PA$ перпендикулярен касательной $AB$ в точке касания, значит, $\angle PAM = 90^\circ$ .
— Радиус $QB$ также перпендикулярен касательной $AB$ , значит, $\angle QBM = 90^\circ$ .
— Углы $AMP$ и $BMQ$ равны как вертикальные.

4. Из равенства двух углов следует, что треугольники $PAM$ и $QBM$ подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам).

5. Из подобия треугольников вытекает пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{PA}{QB} = \frac{PM}{MQ}$ .

6. Подставим известные значения в это отношение:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{a}{b}$ .

7. Нам нужно доказать утверждение для диаметров. Обозначим диаметры как $D_1$ и $D_2$ . Так как $D_1 = 2R_1$ и $D_2 = 2R_2$ , то:
$\frac{D_1}{D_2} = \frac{2R_1}{2R_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{a}{b}$ .

Таким образом, отношение диаметров окружностей равно $a : b$ , что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ