Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O$ — центр окружности, лежащий на стороне $AC$. Так как окружность проходит через точку $C$, то отрезок $OC$ является её радиусом. Обозначим радиус окружности через $R$. По условию диаметр окружности равен 16, следовательно, $R = 16 : 2 = 8$.

2) Окружность касается прямой $AB$ в точке $B$. По свойству касательной, радиус $OB$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, треугольник $ABO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABO = 90^\circ$).

3) В прямоугольном треугольнике $ABO$ нам известны катеты: $AB = 15$ (по условию) и $OB = R = 8$ (как радиус окружности). Воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти гипотенузу $AO$:
$AO^2 = AB^2 + OB^2$
$AO^2 = 15^2 + 8^2$
$AO^2 = 225 + 64$
$AO^2 = 289$
$AO = \sqrt{289} = 17$.

4) Точка $O$ лежит на стороне $AC$, поэтому длина отрезка $AC$ складывается из длин отрезков $AO$ и $OC$:
$AC = AO + OC$.
Так как $OC$ — это радиус окружности, то $OC = R = 8$.
Подставим значения: $AC = 17 + 8 = 25$.

Ответ: 25

Источник: ФИПИ