Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи. По условию задачи скорость течения реки равна $5$ км/ч. Тогда скорость баржи по течению реки составляет $(x + 5)$ км/ч, а скорость баржи против течения реки равна $(x - 5)$ км/ч. Заметим, что по смыслу задачи $x > 5$, так как баржа смогла вернуться обратно против течения.

Составим таблицу для наглядности:
1) По течению: путь $S_1 = 52$ км, скорость $v_1 = x + 5$ км/ч, время $t_1 = \frac{52}{x + 5}$ ч.
2) Против течения: путь $S_2 = 48$ км, скорость $v_2 = x - 5$ км/ч, время $t_2 = \frac{48}{x - 5}$ ч.

По условию задачи общее время в пути составило $5$ часов. Составим уравнение:
$\frac{52}{x + 5} + \frac{48}{x - 5} = 5$

Приведём дроби к общему знаменателю $(x + 5)(x - 5)$:
$\frac{52(x - 5) + 48(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = 5$
$\frac{52x - 260 + 48x + 240}{x^2 - 25} = 5$
$\frac{100x - 20}{x^2 - 25} = 5$

Разделим обе части уравнения на $5$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{20x - 4}{x^2 - 25} = 1$
$20x - 4 = x^2 - 25$
$x^2 - 20x - 21 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 400 + 84 = 484$
$\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{20 + 22}{2} = \frac{42}{2} = 21$
$x_2 = \frac{20 - 22}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -1$ не подходит по условию задачи. Следовательно, собственная скорость баржи равна $21$ км/ч.

Ответ: 21

Источник: ФИПИ