Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ — концентрация кислоты в первом растворе (в долях), а $y$ — концентрация кислоты во втором растворе (в долях). Тогда масса чистой кислоты в первом сосуде равна $40x$ кг, а во втором — $30y$ кг.

1. Рассмотрим первый случай: растворы сливают вместе.
Общая масса смеси составит $40 + 30 = 70$ кг. По условию, концентрация этой смеси равна $73\%$, то есть $0,73$.
Составим уравнение по массе чистой кислоты:
$40x + 30y = 0,73 \cdot 70$
$40x + 30y = 51,1$

2. Рассмотрим второй случай: сливают равные массы растворов.
Пусть взяли по $m$ кг каждого раствора. Тогда общая масса смеси равна $2m$ кг. Концентрация этой смеси равна $72\%$, то есть $0,72$.
Составим уравнение:
$mx + my = 0,72 \cdot 2m$
Разделим обе части уравнения на $m$ (так как $m \neq 0$):
$x + y = 1,44$

3. Решим полученную систему уравнений:
Из второго уравнения выразим $x$:
$x = 1,44 - y$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$40(1,44 - y) + 30y = 51,1$
$57,6 - 40y + 30y = 51,1$
$-10y = 51,1 - 57,6$
$-10y = -6,5$
$y = 0,65$

4. Найдём массу кислоты во втором растворе.
По условию во втором сосуде $30$ кг раствора. Так как его концентрация $y = 0,65$, то масса кислоты в нём:
$30 \cdot 0,65 = 19,5$ кг.

Ответ: 19,5

Источник: ФИПИ