Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ — концентрация кислоты в первом растворе (в долях), а $y$ — концентрация кислоты в втором растворе (в долях). Тогда масса чистой кислоты в первом сосуде равна $40x$ кг, а во втором — $20y$ кг.

Шаг 1. Составим первое уравнение.
По условию, если слить оба раствора вместе, общая масса смеси составит $40 + 20 = 60$ кг. Содержание кислоты в этой смеси равно 33%, то есть $0,33 \cdot 60$ кг. Сумма масс кислоты в исходных растворах равна массе кислоты в смеси:
$40x + 20y = 0,33 \cdot 60$
$40x + 20y = 19,8$

Шаг 2. Составим второе уравнение.
Если слить равные массы растворов (пусть по $m$ кг каждого), то общая масса смеси будет $2m$ кг. Содержание кислоты в такой смеси равно 47%, то есть $0,47 \cdot 2m$ кг. Запишем уравнение баланса кислоты:
$m \cdot x + m \cdot y = 0,47 \cdot 2m$
Разделим обе части уравнения на $m$ (так как $m \neq 0$):
$x + y = 0,47 \cdot 2$
$x + y = 0,94$

Шаг 3. Решим полученную систему уравнений.
У нас есть система:
$\begin{cases} 40x + 20y = 19,8 \\ x + y = 0,94 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 0,94 - x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$40x + 20(0,94 - x) = 19,8$
$40x + 18,8 - 20x = 19,8$
$20x = 19,8 - 18,8$
$20x = 1$
$x = \frac{1}{20} = 0,05$

Шаг 4. Найдем массу кислоты в первом растворе.
Нам нужно найти, сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде. Мы обозначили эту величину как $40x$.
$40 \cdot 0,05 = 2$ (кг).

Ответ: 2

Источник: ФИПИ