Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $MBN$ и $ABC$. По условию прямая $MN$ параллельна стороне $AC$. Из этого следует, что:

— угол $BMN$ равен углу $BAC$ (как соответствующие углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$);
— угол $BNM$ равен углу $BCA$ (как соответствующие углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $BC$).

2. Так как два угла треугольника $MBN$ соответственно равны двум углам треугольника $ABC$, то эти треугольники подобны по первому признаку подобия ($\triangle MBN \sim \triangle ABC$).

3. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC}$.

4. Обозначим искомую длину отрезка $BN$ за $x$. Тогда длина стороны $BC$ будет складываться из длин отрезков $BN$ и $NC$:
$BC = BN + NC = x + 32$.

5. Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{17}{51} = \frac{x}{x + 32}$.

6. Заметим, что дробь $\frac{17}{51}$ можно сократить на $17$:
$\frac{1}{3} = \frac{x}{x + 32}$.

7. Решим полученное уравнение, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$1 \cdot (x + 32) = 3 \cdot x$;
$x + 32 = 3x$;
$3x - x = 32$;
$2x = 32$;
$x = 16$.

Таким образом, $BN = 16$.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ