Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Проведём две высоты трапеции: $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$ и $CK$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Поскольку $BC \parallel AD$ и высоты перпендикулярны основаниям, четырёхугольник $HBCK$ является прямоугольником. Следовательно, высоты равны между собой: $BH = CK$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CKD$ (угол $K = 90^\circ$). Нам известен угол $BCD = 120^\circ$. Так как $BC \parallel AD$, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Тогда угол $CDK = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
В треугольнике $CKD$ найдём катет $CK$ через синус угла $D$:
$CK = CD \cdot \sin(60^\circ) = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $ABH$. Нам известно, что угол $ABC = 45^\circ$. Однако, чтобы найти сторону $AB$, нам удобнее работать с внутренним углом треугольника $BAH$.
Так как сумма углов $ABC$ и $BAH$ при параллельных прямых $BC$ и $AD$ равна $180^\circ$, то угол $BAH = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Это означает, что трапеция является тупоугольной при основании $AD$, и высота $BH$ падает на продолжение основания $AD$.
В прямоугольном треугольнике $ABH$ (где $BH$ — высота) угол при вершине $B$ внутри треугольника будет равен $|ABC - 90^\circ| = |45^\circ - 90^\circ| = 45^\circ$.
Следовательно, угол $BAH$ в этом треугольнике (или смежный с ним) также равен $45^\circ$.

4. Используем значение высоты $BH = CK = 20\sqrt{3}$. В прямоугольном треугольнике $ABH$:
$\sin(\angle BAH_{внешний}) = \frac{BH}{AB}$.
$\sin(45^\circ) = \frac{20\sqrt{3}}{AB}$.
$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{20\sqrt{3}}{AB}$.

5. Выразим $AB$:
$AB = \frac{20\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{40\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$AB = \frac{40\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{6}$.

Ответ: $20\sqrt{6}$

Источник: ФИПИ