Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 4x^2 - 3x = y \\ 8x - 6 = y \end{cases}$

Шаг 1. Приравнивание выражений.
Заметим, что в обоих уравнениях левые части равны одной и той же переменной $y$. Следовательно, мы можем приравнять эти выражения друг к другу:
$4x^2 - 3x = 8x - 6$

Шаг 2. Приведение уравнения к квадратному виду.
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль. При переносе знаки слагаемых меняются на противоположные:
$4x^2 - 3x - 8x + 6 = 0$
Приведём подобные слагаемые ($-3x$ и $-8x$):
$4x^2 - 11x + 6 = 0$

Шаг 3. Решение квадратного уравнения.
Воспользуемся формулой дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 121 - 96 = 25$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдём их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$
$x_1 = \frac{11 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$
$x_2 = \frac{11 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = 0,75$

Шаг 4. Нахождение соответствующих значений $y$.
Подставим найденные значения $x$ во второе уравнение системы ($y = 8x - 6$), так как оно проще:
1) Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 8 \cdot 2 - 6 = 16 - 6 = 10$.
2) Если $x_2 = 0,75$, то $y_2 = 8 \cdot 0,75 - 6 = 6 - 6 = 0$.

Шаг 5. Запись ответа.
Решением системы являются пары чисел $(x; y)$. В нашем случае это $(2; 10)$ и $(0,75; 0)$.

Ответ: (2; 10), (0,75; 0).

Источник: ФИПИ