Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Проанализируем структуру уравнения: $(x^{2} - 9)^{2} + (x^{2} - 2x - 15)^{2} = 0$.
Мы видим сумму двух выражений, каждое из которых возведено в квадрат. Вспомним важное свойство: квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $a^{2} \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю одновременно. Таким образом, наше уравнение равносильно системе уравнений: $$\begin{cases} x^{2} - 9 = 0 \\ x^{2} - 2x - 15 = 0 \end{cases}$$

Шаг 1. Решим первое уравнение системы:
$x^{2} - 9 = 0$
Разложим левую часть по формуле разности квадратов: $(x - 3)(x + 3) = 0$.
Отсюда получаем два корня:
$x_{1} = 3$
$x_{2} = -3$

Шаг 2. Решим второе уравнение системы:
$x^{2} - 2x - 15 = 0$
Воспользуемся теоремой Виета или дискриминантом.
Найдём дискриминант: $D = (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.
Корни уравнения:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2}$
$x_{3} = \frac{10}{2} = 5$
$x_{4} = \frac{-6}{2} = -3$

Шаг 3. Найдём общее решение:
Так как оба выражения в исходном уравнении должны обратиться в нуль одновременно, нам нужно найти такое значение $x$, которое является корнем и первого, и второго уравнения.
Сравним полученные корни:
Для первого уравнения: $3; -3$.
Для второго уравнения: $5; -3$.
Общим корнем является число $-3$.

Проверка: при $x = -3$ первое слагаемое равно $(-3)^{2} - 9 = 9 - 9 = 0$, второе слагаемое равно $(-3)^{2} - 2(-3) - 15 = 9 + 6 - 15 = 0$. Равенство $0^{2} + 0^{2} = 0$ верно.

Ответ: -3

Источник: ФИПИ