Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Дано уравнение: $x^{2} - 3x + \sqrt{3 - x} = \sqrt{3 - x} + 10$.

Шаг 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).
В уравнении присутствует квадратный корень. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, иначе уравнение не будет иметь смысла в действительных числах.
Составим неравенство:
$3 - x \geq 0$
$-x \geq -3$
$x \leq 3$
Таким образом, корни уравнения могут находиться только в промежутке $(-\infty; 3]$.

Шаг 2. Упрощение уравнения.
Заметим, что слагаемое $\sqrt{3 - x}$ присутствует в обеих частях уравнения. Мы можем вычесть его из обеих частей. При этом важно помнить про найденное ограничение для $x$.
Получаем:
$x^{2} - 3x = 10$

Шаг 3. Решение квадратного уравнения.
Перенесём число $10$ в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^{2} - 3x - 10 = 0$
Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$
Найдём корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_{2} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Шаг 4. Проверка корней по ОДЗ.
Сравним полученные значения с условием $x \leq 3$:
1) $x_{1} = 5$. Число $5 > 3$, значит, этот корень не подходит (посторонний корень).
2) $x_{2} = -2$. Число $-2 \leq 3$, это значение удовлетворяет условию.

Ответ: -2

Источник: ФИПИ