Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $v$ км/ч — скорость первого бегуна. Тогда скорость второго бегуна равна $v + 5$ км/ч (так как по условию скорость первого на 5 км/ч меньше).

Разберем движение каждого бегуна по отдельности, чтобы найти длину круговой трассы $S$ (в км).

1) Рассмотрим первого бегуна. Известно, что через 1 час ($t_1 = 1$) ему оставался 1 км до конца круга. Значит, за 1 час он пробежал расстояние $S - 1$. Используя формулу пути $S = v \cdot t$, получаем уравнение:
$S - 1 = v \cdot 1$, откуда $S = v + 1$.

2) Рассмотрим второго бегуна. Он пробежал первый круг (расстояние $S$) на 15 минут раньше, чем прошел час с момента старта. Переведем 15 минут в часы: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = 0,25 \text{ ч}$.
Значит, второй бегун затратил на один круг время $t_2 = 1 - 0,25 = 0,75$ часа.
Его путь равен $S = (v + 5) \cdot 0,75$.

3) Так как длина круга $S$ в обоих случаях одинакова, приравняем полученные выражения:
$v + 1 = 0,75 \cdot (v + 5)$

4) Решим полученное уравнение:
Раскроем скобки в правой части:
$v + 1 = 0,75v + 3,75$
Перенесем слагаемые с $v$ в левую часть, а числа — в правую:
$v - 0,75v = 3,75 - 1$
$0,25v = 2,75$
Разделим обе части на 0,25 (что равносильно умножению на 4):
$v = \frac{2,75}{0,25}$
$v = 11$

Таким образом, скорость первого бегуна составляет 11 км/ч.

Ответ: 11

Источник: ФИПИ