Задание №24 — Геометрия

#47940Задание №24ФИПИ

Многоугольники

Биссектрисы углов $A$ и $B$ четырёхугольника $A B C D$ пересекаются в точке $K$ , лежащей на стороне $C D$ . Докажите, что точка $K$ равноудалена
от прямых $A B$ , $B C$ и $A D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

Для решения задачи воспользуемся основным свойством биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла.

1) Рассмотрим угол $A$ четырёхугольника $ABCD$ . По условию, точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$ . Следовательно, расстояние от точки $K$ до прямой $AB$ равно расстоянию от точки $K$ до прямой $AD$ . Обозначим это расстояние как $h_1$ .

2) Рассмотрим угол $B$ четырёхугольника $ABCD$ . По условию, точка $K$ также лежит на биссектрисе угла $B$ . Следовательно, расстояние от точки $K$ до прямой $AB$ равно расстоянию от точки $K$ до прямой $BC$ . Обозначим это расстояние как $h_2$ .

3) Заметим, что в обоих случаях мы измеряли расстояние от одной и той же точки $K$ до одной и той же прямой $AB$ . Это значит, что $h_1 = h_2$ .

4) Таким образом, расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно расстоянию до прямой $AB$ , которое, в свою очередь, равно расстоянию до прямой $BC$ . Из этого следует, что расстояния от точки $K$ до всех трёх прямых ( $AB$ , $BC$ и $AD$ ) равны между собой.

Это и означает, что точка $K$ равноудалена от прямых $AB$ , $BC$ и $AD$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ