Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ — количество деталей, которые делает второй рабочий за один час (его производительность). Тогда производительность первого рабочего равна $x + 5$ деталей в час, так как по условию он делает на 5 деталей больше.

Вспомним формулу связи работы, времени и производительности: $t = \frac{A}{P}$, где $A$ — объём работы (количество деталей), $P$ — производительность, $t$ — время выполнения.

1) Время, которое затратил второй рабочий на выполнение заказа из 180 деталей: $t_2 = \frac{180}{x}$ часов.
2) Время, которое затратил первый рабочий на выполнение такого же заказа: $t_1 = \frac{180}{x + 5}$ часов.

По условию задачи первый рабочий выполняет заказ на 3 часа быстрее, чем второй. Это значит, что разница между временем второго и временем первого рабочего равна 3 часам. Составим уравнение:
$\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 5} = 3$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения вычислений:
$\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 5} = 1$

Приведём дроби к общему знаменателю $x(x + 5)$:
$\frac{60(x + 5) - 60x}{x(x + 5)} = 1$
$\frac{60x + 300 - 60x}{x^2 + 5x} = 1$
$\frac{300}{x^2 + 5x} = 1$

Перейдём к квадратному уравнению (учитывая, что $x > 0$):
$x^2 + 5x = 300$
$x^2 + 5x - 300 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$
$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-5 + 35}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-5 - 35}{2 \cdot 1} = \frac{-40}{2} = -20$

Так как производительность труда не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -20$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, второй рабочий делает 15 деталей в час.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ