Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение является дробно-рациональным. Заметим, что в знаменателях дробей стоит выражение $x - 2$. Прежде чем приступать к решению, определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, значит, $x - 2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

Для упрощения вида уравнения воспользуемся методом введения новой переменной. Пусть $t = \frac{1}{x - 2}$.
Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:
$t^{2} - t - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D$:
$D = b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
Найдём корни $t$:
$t_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$;
$t_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Теперь вернёмся к обратной замене и найдём значения $x$:

1) Если $t = 3$, то:
$\frac{1}{x - 2} = 3$
Воспользуемся свойством пропорции: $3(x - 2) = 1$
$3x - 6 = 1$
$3x = 7$
$x_{1} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

2) Если $t = -2$, то:
$\frac{1}{x - 2} = -2$
$-2(x - 2) = 1$
$-2x + 4 = 1$
$-2x = 1 - 4$
$-2x = -3$
$x_{2} = \frac{-3}{-2} = 1,5$

Оба найденных значения удовлетворяют условию $x \neq 2$.

Ответ: 1,5; 2\frac{1}{3}

Источник: ФИПИ