Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ — концентрация кислоты в первом растворе (в долях), а $y$ — концентрация кислоты во втором растворе (в долях). Тогда масса чистой кислоты в первом сосуде равна $12x$ кг, а во втором — $8y$ кг.

Шаг 1. Составим первое уравнение.
При смешивании двух растворов их общая масса становится равной $12 + 8 = 20$ кг. По условию, полученный раствор содержит $65\%$ кислоты, то есть $0,65 \cdot 20 = 13$ кг кислоты. Сумма масс кислот в исходных сосудах равна массе кислоты в смеси:
$12x + 8y = 13$

Шаг 2. Составим второе уравнение.
Во втором случае сливают равные массы растворов. Пусть взяли по $m$ кг каждого раствора. Тогда масса кислоты в смеси будет $mx + my$, а общая масса смеси — $2m$. Концентрация этой смеси равна $60\%$, то есть $0,6$.
Составим уравнение: $\frac{mx + my}{2m} = 0,6$.
Сократим на $m$ (так как $m \neq 0$): $\frac{x + y}{2} = 0,6$.
Отсюда получаем: $x + y = 1,2$.

Шаг 3. Решим систему уравнений.
У нас есть система:
$\begin{cases} 12x + 8y = 13 \\ x + y = 1,2 \end{cases}$
Выразим $x$ из второго уравнения: $x = 1,2 - y$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$12(1,2 - y) + 8y = 13$
$14,4 - 12y + 8y = 13$
$14,4 - 4y = 13$
$-4y = 13 - 14,4$
$-4y = -1,4$
$y = \frac{1,4}{4} = 0,35$

Шаг 4. Найдем массу кислоты во втором растворе.
Концентрация второго раствора $y = 0,35$ (или $35\%$).
Масса второго раствора по условию составляет $8$ кг.
Масса кислоты во втором растворе: $8 \cdot 0,35 = 2,8$ кг.

Ответ: 2,8

Источник: ФИПИ