Задание 21

Текстовая задача · 190 заданий

Задание №21
№21
Моторная лодка прошла против течения реки 297 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течен…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 341 кг свежих фруктов?
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Два велосипедиста одновременно отправляются в 224-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выпо…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Свежие фрукты содержат 79 % воды, а высушенные — 16 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Два велосипедиста одновременно отправляются в 180-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 5 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 3 к…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А,…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорост…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 57 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду,…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объё…
Текстовые задачи

Задание №21 — Уравнения и неравенства

Расстояние между пристанями А и В равно 90 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А.
К этому времени плот проплыл 52 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость моторной лодки в неподвижной воде. По условию задачи скорость течения реки равна $4$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(x + 4)$ км/ч, а скорость лодки против течения — $(x - 4)$ км/ч. Скорость плота совпадает со скоростью течения реки и равна $4$ км/ч.

1) Сначала найдём время, которое плот находился в пути. Плот проплыл $52$ км со скоростью $4$ км/ч.
$t_{плота} = \frac{52}{4} = 13$ (часов).

2) Лодка вышла из пункта А на $1$ час позже плота и вернулась в пункт А в тот же момент, когда плот закончил своё движение. Значит, лодка находилась в пути на $1$ час меньше, чем плот:
$t_{лодки} = 13 - 1 = 12$ (часов).

3) Составим уравнение для времени движения лодки. Лодка прошла $90$ км по течению и $90$ км против течения. Суммарное время в пути равно $12$ часам:
$\frac{90}{x + 4} + \frac{90}{x - 4} = 12$

4) Решим полученное уравнение. Разделим обе части уравнения на $6$ , чтобы упростить вычисления:
$\frac{15}{x + 4} + \frac{15}{x - 4} = 2$
Приведём дроби к общему знаменателю $(x + 4)(x - 4)$ :
$\frac{15(x - 4) + 15(x + 4)}{(x + 4)(x - 4)} = 2$
$\frac{15x - 60 + 15x + 60}{x^2 - 16} = 2$
$\frac{30x}{x^2 - 16} = 2$
$30x = 2(x^2 - 16)$
$15x = x^2 - 16$
$x^2 - 15x - 16 = 0$

5) Найдём корни квадратного уравнения через дискриминант:
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289 = 17^2$
$x_1 = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16$
$x_2 = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Скорость лодки не может быть отрицательной, поэтому корень $x = -1$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, собственная скорость лодки равна $16$ км/ч.

Ответ: 16 км/ч

Источник: ФИПИ