Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость моторной лодки в неподвижной воде. По условию задачи скорость течения реки равна $4$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(x + 4)$ км/ч, а скорость лодки против течения — $(x - 4)$ км/ч. Скорость плота совпадает со скоростью течения реки и равна $4$ км/ч.

1) Сначала найдём время, которое плот находился в пути. Плот проплыл $52$ км со скоростью $4$ км/ч.
$t_{плота} = \frac{52}{4} = 13$ (часов).

2) Лодка вышла из пункта А на $1$ час позже плота и вернулась в пункт А в тот же момент, когда плот закончил своё движение. Значит, лодка находилась в пути на $1$ час меньше, чем плот:
$t_{лодки} = 13 - 1 = 12$ (часов).

3) Составим уравнение для времени движения лодки. Лодка прошла $90$ км по течению и $90$ км против течения. Суммарное время в пути равно $12$ часам:
$\frac{90}{x + 4} + \frac{90}{x - 4} = 12$

4) Решим полученное уравнение. Разделим обе части уравнения на $6$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{15}{x + 4} + \frac{15}{x - 4} = 2$
Приведём дроби к общему знаменателю $(x + 4)(x - 4)$:
$\frac{15(x - 4) + 15(x + 4)}{(x + 4)(x - 4)} = 2$
$\frac{15x - 60 + 15x + 60}{x^2 - 16} = 2$
$\frac{30x}{x^2 - 16} = 2$
$30x = 2(x^2 - 16)$
$15x = x^2 - 16$
$x^2 - 15x - 16 = 0$

5) Найдём корни квадратного уравнения через дискриминант:
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289 = 17^2$
$x_1 = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16$
$x_2 = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Скорость лодки не может быть отрицательной, поэтому корень $x = -1$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, собственная скорость лодки равна $16$ км/ч.

Ответ: 16 км/ч

Источник: ФИПИ