Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Проанализируем структуру уравнения: $(x^{2} - 49)^{2} + (x^{2} + 4x - 21)^{2} = 0$.
Мы видим сумму двух квадратов. Вспомним важное свойство: квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $a^{2} \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел может быть равна нулю только в одном случае — когда каждое из этих чисел равно нулю одновременно.

Следовательно, наше уравнение равносильно системе уравнений: $$\begin{cases} x^{2} - 49 = 0 \\ x^{2} + 4x - 21 = 0 \end{cases}$$

Шаг 1. Решим первое уравнение системы:
$x^{2} - 49 = 0$
Перенесём число в правую часть: $x^{2} = 49$.
Отсюда получаем два корня: $x_{1} = 7$ и $x_{2} = -7$.

Шаг 2. Проверим, какие из этих корней удовлетворяют второму уравнению:
Второе уравнение: $x^{2} + 4x - 21 = 0$.
Подставим $x_{1} = 7$:
$7^{2} + 4 \cdot 7 - 21 = 49 + 28 - 21 = 77 - 21 = 56$.
$56 \neq 0$, значит, $x = 7$ не является решением системы.

Подставим $x_{2} = -7$:
$(-7)^{2} + 4 \cdot (-7) - 21 = 49 - 28 - 21 = 49 - 49 = 0$.
$0 = 0$, равенство верно. Значит, $x = -7$ является решением системы.

Шаг 3. Альтернативный способ (через корни второго уравнения):
Решим $x^{2} + 4x - 21 = 0$ через дискриминант или по теореме Виета.
По теореме Виета: сумма корней равна $-4$, а произведение равно $-21$.
Корни: $x = -7$ и $x = 3$.
Общим корнем для обоих уравнений является только $x = -7$.

Ответ: -7

Источник: ФИПИ