Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений: $\begin{cases} x^{2} + 3 y^{2} = 31 \\ 2 x^{2} + 6 y^{2} = 31 x \end{cases}$

Шаг 1. Преобразование системы.
Заметим, что левая часть второго уравнения очень похожа на левую часть первого уравнения. Вынесем общий множитель $2$ за скобки во втором уравнении:
$2(x^{2} + 3 y^{2}) = 31 x$

Шаг 2. Метод подстановки.
Из первого уравнения системы мы знаем, что выражение $x^{2} + 3 y^{2}$ равно $31$. Подставим это значение во второе уравнение вместо выражения в скобках:
$2 \cdot 31 = 31 x$

Шаг 3. Нахождение $x$.
Разделим обе части полученного уравнения на $31$:
$2 = x$
Следовательно, $x = 2$.

Шаг 4. Нахождение $y$.
Теперь подставим найденное значение $x = 2$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:
$2^{2} + 3 y^{2} = 31$
$4 + 3 y^{2} = 31$
Перенесем $4$ в правую часть с противоположным знаком:
$3 y^{2} = 31 - 4$
$3 y^{2} = 27$
Разделим на $3$:
$y^{2} = 9$
Отсюда получаем два возможных значения для $y$:
$y_1 = 3$ или $y_2 = -3$

Шаг 5. Запись ответа.
Мы получили две пары чисел $(x; y)$, которые являются решениями системы: $(2; 3)$ и $(2; -3)$.

Ответ: (2; 3), (2; -3)

Источник: ФИПИ