Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23
Высота A H ромба A B C D делит сторону C D на отрезки D H = 21 и C H = 8 . Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23
Отрезки A B и D C лежат на параллельных прямых, а отрезки A C и B D пересекаются в точке M . Найдите M C , если A B = 16 , D C = 24 , A C = 25 .
Треугольник
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 32 , B F = 24 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Прямая, параллельная основаниям трапеции A B C D , пересекает её боковые стороны A B и C D в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка E F ,…
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 24 , B F = 7 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 7 , C K = 12 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Найдите боковую сторону A B трапеции A B C D , если углы A B C и B C D равны соответственно 30 ° и 120 ° , а C D = 25 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 12 , B F = 5 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника A B C к гипотенузе A C . Найдите A B , если A H = 6 , A C = 24…
Треугольник
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 9 , C K = 15 .
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Отрезки $A B$ и $C D$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $C D$ , если $A B = 40$ , $C D = 42$ , а расстояние от центра окружности до хорды $A B$ равно 21.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $O$ — центр данной окружности. Проведём перпендикуляры из центра $O$ к хордам $AB$ и $CD$ . Обозначим их основания как $M$ и $N$ соответственно. Тогда отрезок $OM$ — это расстояние от центра до хорды $AB$ , а отрезок $ON$ — искомое расстояние от центра до хорды $CD$ .

2) По условию задачи $AB = 40$ , $CD = 42$ , $OM = 21$ . Нам необходимо найти $ON$ .

3) Вспомним важное свойство: перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Следовательно:
$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{40}{2} = 20$ ;
$CN = ND = \frac{CD}{2} = \frac{42}{2} = 21$ .

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMB$ (угол $M = 90^{\circ}$ ). В нём катеты $OM = 21$ и $MB = 20$ . Гипотенуза $OB$ является радиусом окружности $R$ . По теореме Пифагора:
$OB^{2} = OM^{2} + MB^{2}$
$R^{2} = 21^{2} + 20^{2} = 441 + 400 = 841$ .
Отсюда $R = \sqrt{841} = 29$ .

5) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OND$ (угол $N = 90^{\circ}$ ). В нём гипотенуза $OD$ также является радиусом окружности, то есть $OD = R = 29$ . Катет $ND = 21$ . Найдём катет $ON$ по теореме Пифагора:
$ON^{2} = OD^{2} - ND^{2}$
$ON^{2} = 29^{2} - 21^{2}$ .
Воспользуемся формулой разности квадратов для удобства вычислений:
$ON^{2} = (29 - 21)(29 + 21) = 8 \cdot 50 = 400$ .
$ON = \sqrt{400} = 20$ .

Таким образом, расстояние от центра окружности до хорды $CD$ равно 20.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ