Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O$ — центр данной окружности. Проведём перпендикуляры из центра $O$ к хордам $AB$ и $CD$. Обозначим их основания как $M$ и $N$ соответственно. Тогда отрезок $OM$ — это расстояние от центра до хорды $AB$, а отрезок $ON$ — искомое расстояние от центра до хорды $CD$.

2) По условию задачи $AB = 40$, $CD = 42$, $OM = 21$. Нам необходимо найти $ON$.

3) Вспомним важное свойство: перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Следовательно:
$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{40}{2} = 20$;
$CN = ND = \frac{CD}{2} = \frac{42}{2} = 21$.

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMB$ (угол $M = 90^{\circ}$). В нём катеты $OM = 21$ и $MB = 20$. Гипотенуза $OB$ является радиусом окружности $R$. По теореме Пифагора:
$OB^{2} = OM^{2} + MB^{2}$
$R^{2} = 21^{2} + 20^{2} = 441 + 400 = 841$.
Отсюда $R = \sqrt{841} = 29$.

5) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OND$ (угол $N = 90^{\circ}$). В нём гипотенуза $OD$ также является радиусом окружности, то есть $OD = R = 29$. Катет $ND = 21$. Найдём катет $ON$ по теореме Пифагора:
$ON^{2} = OD^{2} - ND^{2}$
$ON^{2} = 29^{2} - 21^{2}$.
Воспользуемся формулой разности квадратов для удобства вычислений:
$ON^{2} = (29 - 21)(29 + 21) = 8 \cdot 50 = 400$.
$ON = \sqrt{400} = 20$.

Таким образом, расстояние от центра окружности до хорды $CD$ равно 20.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ