Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23Среднее
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Среднее
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD…
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Отрезки $A B$ и $C D$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $C D$ , если $A B = 40$ , $C D = 42$ , а расстояние от центра окружности до хорды $A B$ равно 21.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $O$ — центр данной окружности. Проведём перпендикуляры из центра $O$ к хордам $AB$ и $CD$ . Обозначим их основания как $M$ и $N$ соответственно. Тогда отрезок $OM$ — это расстояние от центра до хорды $AB$ , а отрезок $ON$ — искомое расстояние от центра до хорды $CD$ .

2) По условию задачи $AB = 40$ , $CD = 42$ , $OM = 21$ . Нам необходимо найти $ON$ .

3) Вспомним важное свойство: перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Следовательно:
$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{40}{2} = 20$ ;
$CN = ND = \frac{CD}{2} = \frac{42}{2} = 21$ .

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMB$ (угол $M = 90^{\circ}$ ). В нём катеты $OM = 21$ и $MB = 20$ . Гипотенуза $OB$ является радиусом окружности $R$ . По теореме Пифагора:
$OB^{2} = OM^{2} + MB^{2}$
$R^{2} = 21^{2} + 20^{2} = 441 + 400 = 841$ .
Отсюда $R = \sqrt{841} = 29$ .

5) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OND$ (угол $N = 90^{\circ}$ ). В нём гипотенуза $OD$ также является радиусом окружности, то есть $OD = R = 29$ . Катет $ND = 21$ . Найдём катет $ON$ по теореме Пифагора:
$ON^{2} = OD^{2} - ND^{2}$
$ON^{2} = 29^{2} - 21^{2}$ .
Воспользуемся формулой разности квадратов для удобства вычислений:
$ON^{2} = (29 - 21)(29 + 21) = 8 \cdot 50 = 400$ .
$ON = \sqrt{400} = 20$ .

Таким образом, расстояние от центра окружности до хорды $CD$ равно 20.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ