Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Проанализируем структуру уравнения. Мы видим сумму двух выражений, каждое из которых возведено в квадрат: $(x^2 - 4)^2 + (x^2 - 3x - 10)^2 = 0$.

Шаг 1. Логическое рассуждение.
Вспомним важное свойство: квадрат любого числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю).
Следовательно, $(x^2 - 4)^2 \ge 0$ и $(x^2 - 3x - 10)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел может быть равна нулю только в одном случае: когда оба этих числа одновременно равны нулю.

Шаг 2. Составление системы уравнений.
Для решения исходного уравнения нам нужно найти такие значения $x$, при которых выполняются оба условия одновременно:
$\begin{cases} x^2 - 4 = 0 \\ x^2 - 3x - 10 = 0 \end{cases}$

Шаг 3. Решение первого уравнения.
$x^2 - 4 = 0$
$x^2 = 4$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Шаг 4. Решение второго уравнения.
$x^2 - 3x - 10 = 0$
Воспользуемся теоремой Виета или дискриминантом.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.
$\sqrt{D} = 7$.
$x = \frac{3 \pm 7}{2}$.
Получаем корни: $x_3 = \frac{10}{2} = 5$, $x_4 = \frac{-4}{2} = -2$.

Шаг 5. Поиск общего решения.
Система требует, чтобы оба выражения занулялись при одном и том же значении переменной.
Корни первого уравнения: $2$ и $-2$.
Корни второго уравнения: $5$ и $-2$.
Общим корнем является число $-2$.

Ответ: -2

Источник: ФИПИ