Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $ABCD$ — данная трапеция с основаниями $BC = 27$ и $AD = 45$. Прямая $EF$ параллельна основаниям, при этом точка $E$ лежит на стороне $AB$, а точка $F$ — на стороне $CD$. По условию $CF : DF = 5 : 4$. Обозначим $CF = 5x$, тогда $DF = 4x$. Следовательно, вся боковая сторона $CD = CF + DF = 5x + 4x = 9x$.

2. Проведём дополнительное построение: через вершину $C$ проведём прямую, параллельную боковой стороне $AB$. Пусть эта прямая пересекает отрезок $EF$ в точке $K$, а основание $AD$ — в точке $M$.

3. Четырёхугольники $EBCK$ и $ABCM$ являются параллелограммами по определению (их противоположные стороны попарно параллельны: $BC \parallel EK \parallel AM$ и $AB \parallel CK \parallel DM$). Из свойств параллелограмма следует, что $BC = EK = AM = 27$.

4. Найдём длину отрезка $MD$:
$MD = AD - AM = 45 - 27 = 18$.

5. Рассмотрим треугольник $MCD$. Отрезок $KF$ параллелен стороне $MD$ (так как $EF \parallel AD$). Значит, треугольник $KCF$ подобен треугольнику $MCD$ по двум углам (угол $C$ — общий, $\angle CKF = \angle CMD$ как соответственные при параллельных прямых).

6. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{KF}{MD} = \frac{CF}{CD}$.
Подставим известные значения:
$\frac{KF}{18} = \frac{5x}{9x}$;
$\frac{KF}{18} = \frac{5}{9}$.
Отсюда находим $KF$:
$KF = \frac{18 \cdot 5}{9} = 2 \cdot 5 = 10$.

7. Теперь найдём длину искомого отрезка $EF$:
$EF = EK + KF = 27 + 10 = 37$.

Ответ: 37

Источник: ФИПИ