Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение является дробно-рациональным. Заметим, что переменная $x$ находится в знаменателе, поэтому необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Для решения воспользуемся методом введения новой переменной. Заметим, что в уравнении присутствуют слагаемые $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x^{2}}$, причём второе является квадратом первого.

Шаг 1. Введение замены.
Пусть $t = \frac{1}{x}$. Тогда $t^{2} = \left(\frac{1}{x}\right)^{2} = \frac{1}{x^{2}}$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$t^{2} + 3t - 10 = 0$

Шаг 2. Решение квадратного уравнения относительно $t$.
Найдём дискриминант по формуле $D = b^{2} - 4ac$:
$D = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Вычислим их:
$t_{1} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$t_{2} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Шаг 3. Обратная замена.
Вернёмся к переменной $x$, рассмотрев два случая:

1) Если $t = 2$, то $\frac{1}{x} = 2$.
Отсюда $2x = 1$, значит $x = \frac{1}{2}$ или $x = 0,5$.

2) Если $t = -5$, то $\frac{1}{x} = -5$.
Отсюда $-5x = 1$, значит $x = -\frac{1}{5}$ или $x = -0,2$.

Оба найденных значения не равны нулю, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -0,2; 0,5

Источник: ФИПИ