Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость первого автомобиля. По условию задачи $x > 60$.
Пусть $S$ — расстояние между пунктами А и В. Тогда время, затраченное первым автомобилем на весь путь, равно $\frac{S}{x}$ часов.

Второй автомобиль проехал первую половину пути ($\frac{S}{2}$) со скоростью $x - 16$ км/ч. Время на этом участке составило $\frac{S}{2(x - 16)}$ часов.
Вторую половину пути ($\frac{S}{2}$) он проехал со скоростью $96$ км/ч. Время на этом участке составило $\frac{S}{2 \cdot 96} = \frac{S}{192}$ часов.

Так как автомобили прибыли в пункт В одновременно, составим уравнение на основе общего времени в пути:
$\frac{S}{x} = \frac{S}{2(x - 16)} + \frac{S}{192}$

Поскольку расстояние $S$ не равно нулю, разделим обе части уравнения на $S$:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{2(x - 16)} + \frac{1}{192}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $192(x - 16)$:
$\frac{1}{x} = \frac{96 + (x - 16)}{192(x - 16)}$
$\frac{1}{x} = \frac{x + 80}{192x - 3072}$

Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$192x - 3072 = x(x + 80)$
$192x - 3072 = x^2 + 80x$
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 112x + 3072 = 0$

Решим уравнение через дискриминант $D$:
$D = (-112)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3072 = 12544 - 12288 = 256$
$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$

Находим корни уравнения:
$x_1 = \frac{112 + 16}{2} = \frac{128}{2} = 64$
$x_2 = \frac{112 - 16}{2} = \frac{96}{2} = 48$

По условию задачи скорость первого автомобиля больше $60$ км/ч. Следовательно, корень $x = 48$ не подходит, а корень $x = 64$ удовлетворяет условию.

Ответ: 64 км/ч

Источник: ФИПИ