Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

1. Рассмотрим выражение во второй скобке в левой части уравнения: $x^2 + 2x + 1$. Заметим, что это формула квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$. Таким образом, $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$.

2. Перепишем исходное уравнение, используя это преобразование:
$(x - 2)(x + 1)^2 = 4(x + 1)$.

3. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:
$(x - 2)(x + 1)^2 - 4(x + 1) = 0$.

4. Теперь мы видим общий множитель $(x + 1)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 1) \cdot ((x - 2)(x + 1) - 4) = 0$.

5. Упростим выражение внутри вторых скобок. Для этого раскроем произведение $(x - 2)(x + 1)$:
$(x - 2)(x + 1) = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2$.
Подставим это обратно в уравнение:
$(x + 1)(x^2 - x - 2 - 4) = 0$,
$(x + 1)(x^2 - x - 6) = 0$.

6. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Получаем два случая:

Случай 1:
$x + 1 = 0$
$x_1 = -1$.

Случай 2:
$x^2 - x - 6 = 0$
Решим это квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
Найдём корни:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 5}{2}$.
$x_2 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$,
$x_3 = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

7. Таким образом, уравнение имеет три корня: $-2$, $-1$ и $3$.

Ответ: -2; -1; 3.

Источник: ФИПИ