Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на пути из города А в город В. Тогда скорость на обратном пути из В в А составила $x + 2$ км/ч (так как она на 2 км/ч больше).

Расстояние между городами равно 224 км. Время, затраченное на путь из А в В, равно $\frac{224}{x}$ ч. Время, затраченное на движение из В в А, равно $\frac{224}{x + 2}$ ч.

По условию задачи на обратном пути велосипедист сделал остановку на 2 часа, и общее время в пути (время движения плюс время остановки) оказалось равным времени, затраченному на путь из А в В. Составим уравнение:
$\frac{224}{x} = \frac{224}{x + 2} + 2$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения вычислений:
$\frac{112}{x} = \frac{112}{x + 2} + 1$

Перенесём дробь в левую часть и приведём к общему знаменателю:
$\frac{112}{x} - \frac{112}{x + 2} = 1$
$\frac{112(x + 2) - 112x}{x(x + 2)} = 1$
$\frac{112x + 224 - 112x}{x^2 + 2x} = 1$
$\frac{224}{x^2 + 2x} = 1$

Так как скорость $x > 0$, то $x^2 + 2x \neq 0$. Перейдём к квадратному уравнению:
$x^2 + 2x = 224$
$x^2 + 2x - 224 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-224) = 4 + 896 = 900$
$\sqrt{D} = \sqrt{900} = 30$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-2 + 30}{2} = \frac{28}{2} = 14$
$x_2 = \frac{-2 - 30}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -16$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость велосипедиста на пути из А в В равна 14 км/ч.

Ответ: 14

Источник: ФИПИ