Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи. По условию задачи скорость течения реки равна $5$ км/ч. Тогда скорость баржи по течению реки составляет $(x + 5)$ км/ч, а скорость баржи против течения — $(x - 5)$ км/ч. По смыслу задачи $x > 5$, так как баржа смогла вернуться обратно против течения.

Составим таблицу для наглядности:
1) Путь по течению: расстояние $48$ км, скорость $(x + 5)$ км/ч. Время в пути: $t_1 = \frac{48}{x + 5}$ ч.
2) Путь против течения: расстояние $42$ км, скорость $(x - 5)$ км/ч. Время в пути: $t_2 = \frac{42}{x - 5}$ ч.

По условию задачи общее время, затраченное на весь путь, равно $5$ часам. Составим уравнение:
$\frac{48}{x + 5} + \frac{42}{x - 5} = 5$

Приведём дроби к общему знаменателю $(x + 5)(x - 5)$:
$\frac{48(x - 5) + 42(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = 5$
$\frac{48x - 240 + 42x + 210}{x^2 - 25} = 5$
$\frac{90x - 30}{x^2 - 25} = 5$

Умножим обе части уравнения на $x^2 - 25$ (при условии $x \neq 5$):
$90x - 30 = 5(x^2 - 25)$
Разделим обе части на $5$, чтобы упростить вычисления:
$18x - 6 = x^2 - 25$
Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 18x - 19 = 0$

Найдём корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта или по теореме Виета:
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 18$
$x_1 \cdot x_2 = -19$
Отсюда получаем корни: $x_1 = 19$, $x_2 = -1$.

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x = -1$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, собственная скорость баржи равна $19$ км/ч.

Ответ: 19

Источник: ФИПИ