Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Проанализируем структуру уравнения. Мы видим сумму двух квадратов выражений: $(x^2 - 25)^2$ и $(x^2 + 2x - 15)^2$.

Вспомним важное свойство: квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Следовательно, сумма двух неотрицательных чисел может быть равна нулю только в одном случае — когда каждое из этих чисел одновременно равно нулю.

Таким образом, наше уравнение равносильно системе уравнений:
$\begin{cases} x^2 - 25 = 0 \\ x^2 + 2x - 15 = 0 \end{cases}$

Шаг 1. Решим первое уравнение системы:
$x^2 - 25 = 0$
$x^2 = 25$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Шаг 2. Решим второе уравнение системы:
$x^2 + 2x - 15 = 0$
Воспользуемся теоремой Виета или формулой дискриминанта.
Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.
Корни уравнения:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 8}{2}$
$x_3 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_4 = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Шаг 3. Найдём общее решение:
Так как оба выражения в исходном уравнении должны обращаться в нуль одновременно, нам нужно выбрать такое значение $x$, которое является корнем и первого, и второго уравнения.
Сравним полученные корни:
Для первого уравнения: $\{5; -5\}$
Для второго уравнения: $\{3; -5\}$
Общим корнем является число $-5$.

Ответ: -5

Источник: ФИПИ