Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По условию $AK$ — биссектриса угла $A$. Это значит, что она делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAK = \angle KAD$.

2. Стороны $BC$ и $AD$ параллелограмма параллельны ($BC \parallel AD$). При пересечении этих параллельных прямых секущей $AK$ образуются накрест лежащие углы. Следовательно, $\angle KAD = \angle BKA$.

3. Теперь посмотрим на треугольник $ABK$. Мы выяснили, что $\angle BAK = \angle KAD$ (так как $AK$ — биссектриса) и $\angle KAD = \angle BKA$ (как накрест лежащие). Отсюда следует, что $\angle BAK = \angle BKA$.

4. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным. Значит, в треугольнике $ABK$ стороны, лежащие против этих углов, равны: $AB = BK$. По условию $BK = 8$, следовательно, $AB = 8$.

5. Найдем длину стороны $BC$. Точка $K$ лежит на этой стороне и делит её на отрезки $BK = 8$ и $CK = 13$. Тогда $BC = BK + CK = 8 + 13 = 21$.

6. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 8$ и $AD = BC = 21$.

7. Периметр параллелограмма ($P$) вычисляется как удвоенная сумма его смежных сторон:
$P = 2 \cdot (AB + BC)$
$P = 2 \cdot (8 + 21) = 2 \cdot 29 = 58$.

Ответ: 58

Источник: ФИПИ