Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ — концентрация кислоты в первом растворе (доля кислоты от общей массы), а $y$ — концентрация кислоты во втором растворе. Тогда масса кислоты в первом сосуде равна $24x$ кг, а во втором — $26y$ кг.

Шаг 1. Составим первое уравнение.
По условию, если слить оба раствора вместе, общая масса смеси составит $24 + 26 = 50$ кг. Содержание кислоты в этой смеси будет равно $39\%$, то есть $0,39 \cdot 50$ кг. Сумма масс кислоты в исходных сосудах равна массе кислоты в полученной смеси:
$24x + 26y = 0,39 \cdot 50$
$24x + 26y = 19,5$

Шаг 2. Составим второе уравнение.
Если слить равные массы растворов (пусть по $m$ кг каждого), то общая масса смеси будет $2m$ кг. Масса кислоты в такой смеси составит $mx + my$. По условию, концентрация этой смеси равна $40\%$, то есть $0,4$:
$\frac{mx + my}{2m} = 0,4$
Сократим на $m$ (так как $m \neq 0$):
$\frac{x + y}{2} = 0,4$
$x + y = 0,8$

Шаг 3. Решим систему уравнений.
Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 0,8 - x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$24x + 26(0,8 - x) = 19,5$
Раскроем скобки:
$24x + 20,8 - 26x = 19,5$
Приведем подобные слагаемые:
$-2x = 19,5 - 20,8$
$-2x = -1,3$
$x = 0,65$

Шаг 4. Найдём массу кислоты в первом растворе.
Мы нашли концентрацию первого раствора $x = 0,65$ (или $65\%$). Чтобы найти массу кислоты в первом сосуде, нужно умножить его общую массу на концентрацию:
$24 \cdot 0,65 = 15,6$ кг.

Ответ: 15,6

Источник: ФИПИ