Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольники $MBN$ и $ABC$. У них угол $B$ является общим. Так как по условию прямая $MN$ параллельна стороне $AC$, то углы $BMN$ и $BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$.

2) Следовательно, треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам (первый признак подобия треугольников).

3) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC}$.

4) Обозначим искомую длину отрезка $BN$ через $x$. Заметим, что сторона $BC$ состоит из двух отрезков: $BN$ и $NC$. Тогда $BC = BN + NC = x + 39$.

5) Подставим известные значения в пропорцию: $\frac{20}{35} = \frac{x}{x + 39}$.

6) Сократим дробь в левой части уравнения на $5$: $\frac{4}{7} = \frac{x}{x + 39}$.

7) Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $4 \cdot (x + 39) = 7x$, $4x + 156 = 7x$.

8) Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону: $7x - 4x = 156$, $3x = 156$.

9) Найдем $x$: $x = 156 : 3$, $x = 52$.

Таким образом, длина отрезка $BN$ равна $52$.

Ответ: 52

Источник: ФИПИ