Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По условию $AK$ — биссектриса угла $A$, значит, она делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAK = \angle KAD$.

2) Стороны $BC$ и $AD$ параллелограмма параллельны ($BC \parallel AD$). При пересечении этих параллельных прямых секущей $AK$ образуются накрест лежащие углы. Следовательно, $\angle KAD = \angle BKA$.

3) Из пунктов 1 и 2 получаем: $\angle BAK = \angle KAD$ и $\angle KAD = \angle BKA$. Отсюда следует, что $\angle BAK = \angle BKA$.

4) Рассмотрим треугольник $ABK$. Так как в нём два угла равны ($\angle BAK = \angle BKA$), то этот треугольник является равнобедренным с основанием $AK$. Значит, его боковые стороны равны: $AB = BK$.

5) По условию $BK = 12$, следовательно, $AB = 12$.

6) Найдём длину стороны $BC$. Точка $K$ лежит на этой стороне, поэтому $BC = BK + CK$. Подставим значения: $BC = 12 + 16 = 28$.

7) В параллелограмме противоположные стороны равны: $AB = CD = 12$ и $BC = AD = 28$.

8) Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле: $P = 2 \cdot (AB + BC)$.
Подставляем найденные значения: $P = 2 \cdot (12 + 28) = 2 \cdot 40 = 80$.

Ответ: 80

Источник: ФИПИ