Задание №23 — Геометрия

#47970Задание №23ФИПИ

Треугольник

Отрезки $A B$ и $D C$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $M$ . Найдите $M C$ , если $A B = 14$ , $D C = 56$ , $A C = 40$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1) Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM$ . По условию задачи прямые $AB$ и $DC$ параллельны ( $AB \parallel DC$ ).

2) При пересечении параллельных прямых $AB$ и $DC$ секущей $AC$ образуются равные накрест лежащие углы: $\angle BAM = \angle DCM$ . Также углы при вершине $M$ ( $\angle AMB$ и $\angle CMD$ ) являются вертикальными, а значит, они тоже равны.

3) Из равенства двух углов следует, что треугольники $ABM$ и $CDM$ подобны по первому признаку подобия треугольников ( $\triangle ABM \sim \triangle CDM$ ).

4) Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$\frac{AB}{CD} = \frac{AM}{MC}$ .

5) Пусть длина искомого отрезка $MC$ равна $x$ . Так как по условию вся длина диагонали $AC = 40$ , то отрезок $AM$ можно выразить как $AM = AC - MC = 40 - x$ .

6) Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{14}{56} = \frac{40 - x}{x}$ .

7) Сократим дробь в левой части уравнения: $\frac{14}{56} = \frac{1}{4}$ .
Получаем уравнение: $\frac{1}{4} = \frac{40 - x}{x}$ .

8) Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$1 \cdot x = 4 \cdot (40 - x)$
$x = 160 - 4x$
$x + 4x = 160$
$5x = 160$
$x = 160 : 5$
$x = 32$ .

Таким образом, длина отрезка $MC$ равна $32$ .

Ответ: 32

Источник: ФИПИ