Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ деталей в час — производительность второго рабочего (количество деталей, которые он делает за один час). Тогда, согласно условию задачи, производительность первого рабочего равна $x + 13$ деталей в час.

Зная общее количество деталей в заказе ($208$ штук), выразим время, затраченное каждым рабочим на выполнение этого заказа:
1) Время второго рабочего: $\frac{208}{x}$ часов.
2) Время первого рабочего: $\frac{208}{x + 13}$ часов.

По условию задачи первый рабочий выполняет заказ на $8$ часов быстрее, чем второй. Это значит, что разница между временем второго и временем первого рабочего равна $8$. Составим уравнение:
$\frac{208}{x} - \frac{208}{x + 13} = 8$

Для упрощения разделим обе части уравнения на $8$:
$\frac{26}{x} - \frac{26}{x + 13} = 1$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 13)$:
$\frac{26(x + 13) - 26x}{x(x + 13)} = 1$
$\frac{26x + 338 - 26x}{x^2 + 13x} = 1$
$\frac{338}{x^2 + 13x} = 1$

Перейдём к квадратному уравнению (учитывая, что $x > 0$):
$x^2 + 13x = 338$
$x^2 + 13x - 338 = 0$

Решим уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-338) = 169 + 1352 = 1521$
$\sqrt{D} = \sqrt{1521} = 39$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-13 + 39}{2} = \frac{26}{2} = 13$
$x_2 = \frac{-13 - 39}{2} = \frac{-52}{2} = -26$

Так как производительность рабочего не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -26$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, второй рабочий делает $13$ деталей в час.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ