Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение имеет вид $x^{4} = (2x - 3)^{2}$. Заметим, что левую часть уравнения можно представить как квадрат выражения $x^{2}$. Перепишем уравнение в следующем виде:
$(x^{2})^{2} = (2x - 3)^{2}$

Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить разность квадратов:
$(x^{2})^{2} - (2x - 3)^{2} = 0$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$. В нашем случае $a = x^{2}$, а $b = 2x - 3$. Получаем:
$(x^{2} - (2x - 3))(x^{2} + (2x - 3)) = 0$
Раскроем внутренние скобки, учитывая знаки:
$(x^{2} - 2x + 3)(x^{2} + 2x - 3) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x^{2} - 2x + 3 = 0$
Найдём дискриминант этого квадратного уравнения по формуле $D = b^{2} - 4ac$:
$D = (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$
Так как $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

2) $x^{2} + 2x - 3 = 0$
Найдём дискриминант:
$D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$
Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня. Вычислим их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_{2} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: $-3$ и $1$.

Ответ: -3; 1

Источник: ФИПИ