Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Сторона $A B$ параллелограмма $A B C D$ вдвое больше стороны $A D$ .
Точка $L$ $—$ середина стороны $A B$ . Докажите, что $D L$ $—$ биссектриса
угла $A D C$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Рассмотрим сторону $AB$ параллелограмма $ABCD$ . По условию точка $L$ является серединой стороны $AB$ . Это значит, что отрезки $AL$ и $LB$ равны между собой и каждый из них равен половине всей стороны: $AL = LB = \frac{1}{2} AB$ .

2) Также по условию известно, что сторона $AB$ вдвое больше стороны $AD$ , то есть $AB = 2 \cdot AD$ . Отсюда следует, что $AD = \frac{1}{2} AB$ .

3) Сравнивая результаты первого и второго шагов, мы видим, что $AL = \frac{1}{2} AB$ и $AD = \frac{1}{2} AB$ . Следовательно, $AL = AD$ .

4) Рассмотрим треугольник $ALD$ . Так как две его стороны равны ( $AL = AD$ ), этот треугольник является равнобедренным с основанием $DL$ . В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, $\angle ADL = \angle ALD$ .

5) Стороны $AB$ и $CD$ параллелограмма лежат на параллельных прямых. Отрезок $DL$ является секущей для параллельных прямых $AB$ и $CD$ . Углы $\angle ALD$ и $\angle LDC$ являются накрест лежащими при этих параллельных прямых и секущей, поэтому они равны: $\angle ALD = \angle LDC$ .

6) Теперь объединим полученные равенства углов:
— Из равнобедренного треугольника: $\angle ADL = \angle ALD$ ;
— Из параллельности сторон: $\angle ALD = \angle LDC$ .
Следовательно, $\angle ADL = \angle LDC$ .

7) Так как луч $DL$ делит угол $ADC$ на два равных угла ( $\angle ADL$ и $\angle LDC$ ), то по определению $DL$ является биссектрисой угла $ADC$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ