Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Сторона $A B$ параллелограмма $A B C D$ вдвое больше стороны $A D$ .
Точка $L$ $—$ середина стороны $A B$ . Докажите, что $D L$ $—$ биссектриса
угла $A D C$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Рассмотрим сторону $AB$ параллелограмма $ABCD$ . По условию точка $L$ является серединой стороны $AB$ . Это значит, что отрезки $AL$ и $LB$ равны между собой и каждый из них равен половине всей стороны: $AL = LB = \frac{1}{2} AB$ .

2) Также по условию известно, что сторона $AB$ вдвое больше стороны $AD$ , то есть $AB = 2 \cdot AD$ . Отсюда следует, что $AD = \frac{1}{2} AB$ .

3) Сравнивая результаты первого и второго шагов, мы видим, что $AL = \frac{1}{2} AB$ и $AD = \frac{1}{2} AB$ . Следовательно, $AL = AD$ .

4) Рассмотрим треугольник $ALD$ . Так как две его стороны равны ( $AL = AD$ ), этот треугольник является равнобедренным с основанием $DL$ . В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, $\angle ADL = \angle ALD$ .

5) Стороны $AB$ и $CD$ параллелограмма лежат на параллельных прямых. Отрезок $DL$ является секущей для параллельных прямых $AB$ и $CD$ . Углы $\angle ALD$ и $\angle LDC$ являются накрест лежащими при этих параллельных прямых и секущей, поэтому они равны: $\angle ALD = \angle LDC$ .

6) Теперь объединим полученные равенства углов:
— Из равнобедренного треугольника: $\angle ADL = \angle ALD$ ;
— Из параллельности сторон: $\angle ALD = \angle LDC$ .
Следовательно, $\angle ADL = \angle LDC$ .

7) Так как луч $DL$ делит угол $ADC$ на два равных угла ( $\angle ADL$ и $\angle LDC$ ), то по определению $DL$ является биссектрисой угла $ADC$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ