Задание №24 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим сторону $AB$ параллелограмма $ABCD$. По условию точка $L$ является серединой стороны $AB$. Это значит, что отрезки $AL$ и $LB$ равны между собой и каждый из них равен половине всей стороны: $AL = LB = \frac{1}{2} AB$.

2) Также по условию известно, что сторона $AB$ вдвое больше стороны $AD$, то есть $AB = 2 \cdot AD$. Отсюда следует, что $AD = \frac{1}{2} AB$.

3) Сравнивая результаты первого и второго шагов, мы видим, что $AL = \frac{1}{2} AB$ и $AD = \frac{1}{2} AB$. Следовательно, $AL = AD$.

4) Рассмотрим треугольник $ALD$. Так как две его стороны равны ($AL = AD$), этот треугольник является равнобедренным с основанием $DL$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, $\angle ADL = \angle ALD$.

5) Стороны $AB$ и $CD$ параллелограмма лежат на параллельных прямых. Отрезок $DL$ является секущей для параллельных прямых $AB$ и $CD$. Углы $\angle ALD$ и $\angle LDC$ являются накрест лежащими при этих параллельных прямых и секущей, поэтому они равны: $\angle ALD = \angle LDC$.

6) Теперь объединим полученные равенства углов:
— Из равнобедренного треугольника: $\angle ADL = \angle ALD$;
— Из параллельности сторон: $\angle ALD = \angle LDC$.
Следовательно, $\angle ADL = \angle LDC$.

7) Так как луч $DL$ делит угол $ADC$ на два равных угла ($\angle ADL$ и $\angle LDC$), то по определению $DL$ является биссектрисой угла $ADC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ