Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ — концентрация кислоты в первом растворе (доля кислоты в массе), а $y$ — концентрация кислоты во втором растворе. Тогда в первом сосуде содержится $30x$ кг кислоты, а во втором — $20y$ кг кислоты.

1. Рассмотрим первый случай: слили оба сосуда целиком. Общая масса смеси составит $30 + 20 = 50$ кг. Масса кислоты в этой смеси равна $30x + 20y$. По условию, концентрация этой смеси равна $81\%$, то есть $0,81$. Составим первое уравнение: $30x + 20y = 0,81 \cdot 50$. Упростим его: $30x + 20y = 40,5$. (1)

2. Рассмотрим второй случай: слили равные массы растворов. Пусть взяли по $m$ кг каждого раствора (например, по 1 кг). Тогда общая масса смеси будет $2m$, а масса кислоты в ней — $mx + my$. По условию, концентрация такой смеси равна $83\%$, то есть $0,83$. Составим второе уравнение: $\frac{mx + my}{2m} = 0,83$. Сократив на $m$ (так как $m \neq 0$), получим: $\frac{x + y}{2} = 0,83$, откуда $x + y = 1,66$. (2)

3. Решим полученную систему уравнений: Из уравнения (2) выразим $x$: $x = 1,66 - y$. Подставим это выражение в уравнение (1): $30(1,66 - y) + 20y = 40,5$. Раскроем скобки: $49,8 - 30y + 20y = 40,5$. Приведем подобные слагаемые: $-10y = 40,5 - 49,8$, $-10y = -9,3$, $y = 0,93$.

4. Нам необходимо найти, сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе. Масса кислоты во втором сосуде равна $20y$. Подставим найденное значение $y$: $20 \cdot 0,93 = 18,6$ кг.

Ответ: 18,6

Источник: ФИПИ