Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x + 3)$. Для его решения удобно использовать метод введения новой переменной.

1. Пусть $(x + 3)^{2} = t$.
Заметим, что так как любое число в квадрате неотрицательно, то на переменную $t$ накладывается условие: $t \geq 0$.

2. Перепишем исходное уравнение, используя замену. Так как $(x + 3)^{4} = ((x + 3)^{2})^{2} = t^{2}$, уравнение примет вид:
$t^{2} + 2t - 8 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D$:
$D = b^{2} - 4ac = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$.

Найдём корни $t$:
$t_{1} = \frac{-2 + 6}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$
$t_{2} = \frac{-2 - 6}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$

4. Проверим корни на соответствие условию $t \geq 0$:
Значение $t_{1} = 2$ подходит.
Значение $t_{2} = -4$ не подходит, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

5. Вернёмся к обратной замене для $t_{1} = 2$:
$(x + 3)^{2} = 2$

Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения. Это даёт нам два случая:
1) $x + 3 = \sqrt{2}$, откуда $x_{1} = -3 + \sqrt{2}$
2) $x + 3 = -\sqrt{2}$, откуда $x_{2} = -3 - \sqrt{2}$

Ответ: $-3 - \sqrt{2}; -3 + \sqrt{2}$

Источник: ФИПИ