Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений: $\begin{cases} 5x^2 - 9x = y \\ 5x - 9 = y \end{cases}$

Шаг 1. Приравнивание выражений.
Заметим, что в обоих уравнениях левые части равны одной и той же переменной $y$. Следовательно, мы можем приравнять левые части этих уравнений друг к другу:
$5x^2 - 9x = 5x - 9$

Шаг 2. Решение квадратного уравнения.
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль. При переносе знаки слагаемых меняются на противоположные:
$5x^2 - 9x - 5x + 9 = 0$
Приведём подобные слагаемые:
$5x^2 - 14x + 9 = 0$

Найдём дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = 196 - 180 = 16$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$

Найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{14 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{18}{10} = 1,8$
$x_2 = \frac{14 - 4}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

Шаг 3. Нахождение соответствующих значений $y$.
Для каждого найденного значения $x$ вычислим значение $y$, подставив $x$ во второе (более простое) уравнение системы $y = 5x - 9$:

1) Если $x_1 = 1,8$, то:
$y_1 = 5 \cdot 1,8 - 9 = 9 - 9 = 0$

2) Если $x_2 = 1$, то:
$y_2 = 5 \cdot 1 - 9 = 5 - 9 = -4$

Таким образом, мы получили две пары решений: $(1,8; 0)$ и $(1; -4)$.

Ответ: (1,8; 0); (1; -4)

Источник: ФИПИ