Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

1. Заметим, что выражение во второй скобке в левой части уравнения представляет собой квадрат суммы. Применим формулу сокращённого умножения $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$:
$x^{2} + 6x + 9 = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = (x + 3)^{2}$.
Теперь перепишем исходное уравнение с учётом этого преобразования:
$(x - 2)(x + 3)^{2} = 6(x + 3)$.

2. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:
$(x - 2)(x + 3)^{2} - 6(x + 3) = 0$.

3. Важно: не следует делить обе части уравнения на $(x + 3)$, так как это может привести к потере корня. Вместо этого вынесем общий множитель $(x + 3)$ за скобки:
$(x + 3) \cdot ((x - 2)(x + 3) - 6) = 0$.

4. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1:
$x + 3 = 0$
$x_{1} = -3$.

Случай 2:
$(x - 2)(x + 3) - 6 = 0$
Раскроем скобки внутри выражения:
$x^{2} + 3x - 2x - 6 - 6 = 0$
$x^{2} + x - 12 = 0$.

5. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^{2} - 4ac = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Найдём корни:
$x_{2} = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$;
$x_{3} = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$.

Таким образом, уравнение имеет три корня: $-4$, $-3$ и $3$.

Ответ: -4; -3; 3.

Источник: ФИПИ