Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Для начала найдём величину третьего угла треугольника $ABC$. Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Следовательно, угол $A$ можно вычислить по формуле:
$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C)$.
Подставим известные значения:
$\angle A = 180^\circ - (72^\circ + 78^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

2. Для нахождения стороны треугольника, если известен радиус описанной окружности и противолежащий угол, воспользуемся теоремой синусов. Согласно этой теореме:
$\frac{BC}{\sin A} = 2R$,
где $BC$ — искомая сторона, $\angle A$ — угол, лежащий против этой стороны, а $R$ — радиус описанной окружности.

3. Выразим из этой формулы сторону $BC$:
$BC = 2R \cdot \sin A$.

4. Подставим в полученное выражение значения радиуса $R = 17$ и угла $A = 30^\circ$:
$BC = 2 \cdot 17 \cdot \sin 30^\circ$.
Вспомним значение синуса угла $30^\circ$: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.
Тогда:
$BC = 2 \cdot 17 \cdot \frac{1}{2}$.
Числа 2 в числителе и знаменателе сокращаются, и мы получаем:
$BC = 17$.

Ответ: 17

Источник: ФИПИ