Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Биссектрисы углов $A$ и $D$ четырёхугольника $A B C D$ пересекаются в точке $M$ , лежащей на стороне $B C$ . Докажите, что точка $M$ равноудалена
от прямых $A B$ , $A D$ и $C D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

Для решения задачи воспользуемся основным свойством биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла.

1) Рассмотрим угол $A$ четырёхугольника $ABCD$ . По условию, точка $M$ лежит на биссектрисе угла $A$ . Следовательно, расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ равно расстоянию от точки $M$ до прямой $AD$ .
Обозначим это расстояние как $h_1$ . Таким образом, $d(M, AB) = d(M, AD) = h_1$ .

2) Теперь рассмотрим угол $D$ четырёхугольника $ABCD$ . По условию, точка $M$ также лежит на биссектрисе угла $D$ . Следовательно, расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно расстоянию от точки $M$ до прямой $CD$ .
Обозначим это расстояние как $h_2$ . Таким образом, $d(M, AD) = d(M, CD) = h_2$ .

3) Из первого пункта мы получили, что $d(M, AD) = h_1$ , а из второго пункта — что $d(M, AD) = h_2$ . Так как это одно и то же расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ , то $h_1 = h_2$ .

4) Объединяя полученные равенства, имеем:
$d(M, AB) = d(M, AD) = d(M, CD)$ .
Это означает, что точка $M$ находится на одинаковом расстоянии от прямых $AB$ , $AD$ и $CD$ , то есть она равноудалена от них.

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ