Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Биссектрисы углов $A$ и $D$ четырёхугольника $A B C D$ пересекаются в точке $M$ , лежащей на стороне $B C$ . Докажите, что точка $M$ равноудалена
от прямых $A B$ , $A D$ и $C D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

Для решения задачи воспользуемся основным свойством биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла.

1) Рассмотрим угол $A$ четырёхугольника $ABCD$ . По условию, точка $M$ лежит на биссектрисе угла $A$ . Следовательно, расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ равно расстоянию от точки $M$ до прямой $AD$ .
Обозначим это расстояние как $h_1$ . Таким образом, $d(M, AB) = d(M, AD) = h_1$ .

2) Теперь рассмотрим угол $D$ четырёхугольника $ABCD$ . По условию, точка $M$ также лежит на биссектрисе угла $D$ . Следовательно, расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно расстоянию от точки $M$ до прямой $CD$ .
Обозначим это расстояние как $h_2$ . Таким образом, $d(M, AD) = d(M, CD) = h_2$ .

3) Из первого пункта мы получили, что $d(M, AD) = h_1$ , а из второго пункта — что $d(M, AD) = h_2$ . Так как это одно и то же расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ , то $h_1 = h_2$ .

4) Объединяя полученные равенства, имеем:
$d(M, AB) = d(M, AD) = d(M, CD)$ .
Это означает, что точка $M$ находится на одинаковом расстоянии от прямых $AB$ , $AD$ и $CD$ , то есть она равноудалена от них.

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ