Задание №24 — Геометрия

#47984Задание №24ФИПИ

Многоугольники

Биссектрисы углов $A$ и $D$ четырёхугольника $A B C D$ пересекаются в точке $M$ , лежащей на стороне $B C$ . Докажите, что точка $M$ равноудалена
от прямых $A B$ , $A D$ и $C D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

Для решения задачи воспользуемся основным свойством биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла.

1) Рассмотрим угол $A$ четырёхугольника $ABCD$ . По условию, точка $M$ лежит на биссектрисе угла $A$ . Следовательно, расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ равно расстоянию от точки $M$ до прямой $AD$ .
Обозначим это расстояние как $h_1$ . Таким образом, $d(M, AB) = d(M, AD) = h_1$ .

2) Теперь рассмотрим угол $D$ четырёхугольника $ABCD$ . По условию, точка $M$ также лежит на биссектрисе угла $D$ . Следовательно, расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно расстоянию от точки $M$ до прямой $CD$ .
Обозначим это расстояние как $h_2$ . Таким образом, $d(M, AD) = d(M, CD) = h_2$ .

3) Из первого пункта мы получили, что $d(M, AD) = h_1$ , а из второго пункта — что $d(M, AD) = h_2$ . Так как это одно и то же расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ , то $h_1 = h_2$ .

4) Объединяя полученные равенства, имеем:
$d(M, AB) = d(M, AD) = d(M, CD)$ .
Это означает, что точка $M$ находится на одинаковом расстоянии от прямых $AB$ , $AD$ и $CD$ , то есть она равноудалена от них.

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ