Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

1. Заметим, что выражение в скобках в левой части уравнения $x^2 + 4x + 4$ представляет собой формулу квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.
Действительно, $x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x + 2)^2$.
Перепишем уравнение с учётом этого преобразования: $x(x + 2)^2 = 3(x + 2)$.

2. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль: $x(x + 2)^2 - 3(x + 2) = 0$.

3. Теперь мы видим общий множитель $(x + 2)$. Вынесем его за скобки: $(x + 2) \cdot (x(x + 2) - 3) = 0$.

4. Упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки: $(x + 2)(x^2 + 2x - 3) = 0$.

5. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Получаем два случая:
а) $x + 2 = 0$, откуда $x_1 = -2$.
б) $x^2 + 2x - 3 = 0$.

6. Решим квадратное уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$ через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
Найдём корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2}$.
$x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$x_3 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Таким образом, уравнение имеет три корня: $-3$, $-2$ и $1$.

Ответ: -3; -2; 1.

Источник: ФИПИ