Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x + 2)$. Для его решения удобно воспользоваться методом введения новой переменной.

1. Пусть $(x + 2)^2 = t$.
Заметим, что квадрат любого числа не может быть отрицательным, поэтому наложим условие: $t \geq 0$.

2. Перепишем исходное уравнение, используя замену. Так как $(x + 2)^4 = ((x + 2)^2)^2 = t^2$, уравнение примет вид:
$t^2 + t - 12 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

4. Проверим корни на соответствие условию $t \geq 0$:
Значение $t_2 = -4$ не подходит, так как квадрат числа не может быть равен отрицательному числу.
Следовательно, нам подходит только $t = 3$.

5. Вернемся к обратной замене:
$(x + 2)^2 = 3$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Получаем два случая:
1) $x + 2 = \sqrt{3}$, откуда $x_1 = -2 + \sqrt{3}$
2) $x + 2 = -\sqrt{3}$, откуда $x_2 = -2 - \sqrt{3}$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $-2 - \sqrt{3}; -2 + \sqrt{3}$

Источник: ФИПИ