Задание №23 — Геометрия

Решение.

Пусть $ABCD$ — данный ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. По свойствам ромба диагонали взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и точкой пересечения делятся пополам.

1) Рассмотрим одну из диагоналей, например $AC = 40$. Тогда половина этой диагонали $AO = AC : 2 = 40 : 2 = 20$.

2) Расстояние от точки $O$ до стороны ромба (пусть это будет сторона $AB$) — это длина перпендикуляра $OH$, опущенного из точки $O$ на прямую $AB$. По условию $OH = 10$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $H = 90^\circ$), в котором $AO$ является гипотенузой, а $OH$ — катетом.
Заметим, что катет $OH = 10$, а гипотенуза $AO = 20$. Так как катет в два раза меньше гипотенузы ($10 = 20 : 2$), то по свойству прямоугольного треугольника угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$.
Следовательно, $\angle OAH = 30^\circ$.

4) Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то угол $A$ ромба в два раза больше угла $OAH$:
$\angle A = 2 \cdot \angle OAH = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

5) Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$. Найдём второй угол ромба (угол $B$):
$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Противолежащие углы ромба равны, значит, углы ромба равны $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

Ответ: 60^\circ; 120^\circ.

Источник: ФИПИ