Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23Среднее
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Среднее
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD…
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 10, а одна из диагоналей ромба равна 40. Найдите углы ромба.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

Пусть $ABCD$ — данный ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. По свойствам ромба диагонали взаимно перпендикулярны ( $AC \perp BD$ ) и точкой пересечения делятся пополам.

1) Рассмотрим одну из диагоналей, например $AC = 40$ . Тогда половина этой диагонали $AO = AC : 2 = 40 : 2 = 20$ .

2) Расстояние от точки $O$ до стороны ромба (пусть это будет сторона $AB$ ) — это длина перпендикуляра $OH$ , опущенного из точки $O$ на прямую $AB$ . По условию $OH = 10$ .

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $H = 90^\circ$ ), в котором $AO$ является гипотенузой, а $OH$ — катетом.
Заметим, что катет $OH = 10$ , а гипотенуза $AO = 20$ . Так как катет в два раза меньше гипотенузы ( $10 = 20 : 2$ ), то по свойству прямоугольного треугольника угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$ .
Следовательно, $\angle OAH = 30^\circ$ .

4) Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то угол $A$ ромба в два раза больше угла $OAH$ :
$\angle A = 2 \cdot \angle OAH = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$ .

5) Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$ . Найдём второй угол ромба (угол $B$ ):
$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ .
Противолежащие углы ромба равны, значит, углы ромба равны $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$ .

Ответ: 60^\circ; 120^\circ.

Источник: ФИПИ