Задание №23 — Геометрия

Решение.

Пусть в прямоугольном треугольнике катет $a = 24$, а гипотенуза $c = 51$. Нам необходимо найти высоту $h$, проведённую к этой гипотенузе.

Шаг 1. Найдём второй катет треугольника.
Воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$).
Выразим второй катет $b$:
$b^2 = c^2 - a^2$
$b^2 = 51^2 - 24^2$
Для удобства вычислений воспользуемся формулой разности квадратов:
$b^2 = (51 - 24)(51 + 24)$
$b^2 = 27 \cdot 75$
Разложим числа на множители, чтобы легко извлечь корень:
$b^2 = (9 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 25) = 9 \cdot 9 \cdot 25$
$b = \sqrt{9 \cdot 9 \cdot 25} = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 45$.
Итак, второй катет равен $45$.

Шаг 2. Найдём площадь треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить как половину произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$
$S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 45 = 12 \cdot 45 = 540$.

Шаг 3. Найдём высоту, проведённую к гипотенузе.
С другой стороны, площадь любого треугольника равна половине произведения основания на высоту. В нашем случае основанием является гипотенуза $c$, а высотой — искомая высота $h$:
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$
Подставим известные значения площади и гипотенузы:
$540 = \frac{1}{2} \cdot 51 \cdot h$
Выразим $h$:
$540 = 25,5 \cdot h$
$h = \frac{540}{25,5} = \frac{5400}{255}$
Сократим дробь на $15$:
$h = \frac{360}{17}$.
Переведём в смешанное число: $360 : 17 = 21$ (остаток $3$).
$h = 21\frac{3}{17}$.

Ответ: $21\frac{3}{17}$

Источник: ФИПИ