Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость моторной лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки по течению реки равна $x + 3$ км/ч, а скорость лодки против течения реки равна $x - 3$ км/ч. По условию задачи $x > 3$, так как лодка смогла вернуться обратно против течения.

1) Сначала найдём время, которое плот находился в движении. Скорость плота совпадает со скоростью течения реки и равна $3$ км/ч. Плот проплыл $33$ км, значит, время его движения составляет:
$t_{плота} = \frac{33}{3} = 11$ (часов).

2) Лодка вышла из пункта А на $1$ час позже плота и вернулась в пункт А в тот же момент, когда плот закончил своё движение. Следовательно, лодка находилась в пути на $1$ час меньше, чем плот:
$t_{лодки} = 11 - 1 = 10$ (часов).

3) Составим уравнение, основываясь на времени движения лодки. Расстояние между пристанями равно $72$ км. Лодка прошла $72$ км по течению и $72$ км против течения. Суммарное время в пути равно $10$ часам:
$\frac{72}{x + 3} + \frac{72}{x - 3} = 10$

4) Решим полученное уравнение. Разделим обе части на $2$ для упрощения вычислений:
$\frac{36}{x + 3} + \frac{36}{x - 3} = 5$
Приведём дроби к общему знаменателю $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$:
$\frac{36(x - 3) + 36(x + 3)}{x^2 - 9} = 5$
$\frac{36x - 108 + 36x + 108}{x^2 - 9} = 5$
$\frac{72x}{x^2 - 9} = 5$
$5(x^2 - 9) = 72x$
$5x^2 - 45 = 72x$
$5x^2 - 72x - 45 = 0$

5) Найдём корни квадратного уравнения через дискриминант:
$D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084$
$\sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78$
$x_1 = \frac{72 + 78}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15$
$x_2 = \frac{72 - 78}{10} = -0,6$

Так как скорость лодки должна быть положительной величиной, корень $x_2 = -0,6$ не подходит по смыслу задачи. Значит, собственная скорость лодки равна $15$ км/ч.

Ответ: 15 км/ч.

Источник: ФИПИ