Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Данное уравнение содержит квадратный корень. Прежде чем приступать к преобразованиям, необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

1) Найдём ОДЗ:
$5 - x \geq 0$
$-x \geq -5$
$x \leq 5$

2) Теперь перейдём к решению самого уравнения:
$x^{2} - 3x + \sqrt{5 - x} = \sqrt{5 - x} + 18$

Заметим, что в обеих частях уравнения стоит одинаковое слагаемое $\sqrt{5 - x}$. Мы можем вычесть его из обеих частей уравнения (при условии, что $x$ удовлетворяет ОДЗ):
$x^{2} - 3x = 18$

3) Перенесём число $18$ в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^{2} - 3x - 18 = 0$

4) Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D$:
$D = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$

Найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_{2} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

5) Проверим полученные корни на соответствие ОДЗ ($x \leq 5$):
Число $x_{1} = 6$ не подходит, так как $6 > 5$ (при $x = 6$ выражение под корнем становится отрицательным).
Число $x_{2} = -3$ подходит, так как $-3 \leq 5$.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = -3$.

Ответ: -3

Источник: ФИПИ