Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Проведём две высоты трапеции: $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$ и $CK$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Так как трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны ($BC \parallel AD$), то высоты $BH$ и $CK$ равны между собой: $BH = CK$.

2. Рассмотрим углы при вершинах $B$ и $C$. По условию $\angle ABC = 30^\circ$ и $\angle BCD = 135^\circ$. Заметим, что углы при боковых сторонах трапеции (например, $\angle BCD$ и $\angle ADC$) являются односторонними при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $CD$. Их сумма равна $180^\circ$.
Следовательно, $\angle ADC = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CKD$ ($\angle CKD = 90^\circ$). В нём гипотенуза $CD = 17$, а угол $\angle CDK = 45^\circ$.
Используя определение синуса, найдём высоту $CK$:
$CK = CD \cdot \sin(45^\circ) = 17 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{17\sqrt{2}}{2}$.

4. Так как $BH = CK$, то высота $BH = \frac{17\sqrt{2}}{2}$.

5. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($\angle AHB = 90^\circ$). Нам нужно найти гипотенузу $AB$.
Заметим, что угол $\angle ABH$ можно найти, зная весь угол $B$. Высота $BH$ перпендикулярна основаниям, значит $\angle HBC = 90^\circ$. Тогда $\angle ABH = \angle ABC - \angle HBC$. Однако в данной задаче угол $ABC = 30^\circ$ меньше $90^\circ$, что означает, что трапеция тупоугольная при основании $AD$, и высота $BH$ падает на продолжение основания $AD$.
В треугольнике $ABH$ катет $BH$ лежит против угла $\angle BAH$. Найдём угол $\angle BAH$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне $AB$, равна $180^\circ$:
$\angle BAH = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.
Это подтверждает, что угол $A$ тупой. В прямоугольном треугольнике $ABH$ острый угол при вершине $A$ будет равен $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

6. В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $BH$, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы $AB$:
$BH = \frac{1}{2} \cdot AB$, отсюда $AB = 2 \cdot BH$.
$AB = 2 \cdot \frac{17\sqrt{2}}{2} = 17\sqrt{2}$.

Ответ: $17\sqrt{2}$

Источник: ФИПИ