Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $(x - 2)^2 < \sqrt{5}(x - 2)$.

Шаг 1. Перенос всех слагаемых в одну часть.
Для решения неравенства перенесём выражение из правой части в левую с противоположным знаком, чтобы справа остался ноль:
$(x - 2)^2 - \sqrt{5}(x - 2) < 0$.

Шаг 2. Разложение на множители.
Заметим, что в левой части есть общий множитель $(x - 2)$. Вынесем его за скобки:
$(x - 2) \cdot ((x - 2) - \sqrt{5}) < 0$,
$(x - 2)(x - 2 - \sqrt{5}) < 0$.

Шаг 3. Нахождение корней.
Приравняем левую часть к нулю, чтобы найти критические точки:
1) $x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$;
2) $x - 2 - \sqrt{5} = 0 \Rightarrow x_2 = 2 + \sqrt{5}$.

Шаг 4. Решение методом интервалов.
Отметим полученные точки на числовой прямой. Точки будут "выколотыми" (пустыми), так как знак неравенства строгий ($<$). Эти точки разбивают прямую на три интервала:
1) $(-\infty; 2)$
2) $(2; 2 + \sqrt{5})$
3) $(2 + \sqrt{5}; +\infty)$
Определим знак выражения $(x - 2)(x - 2 - \sqrt{5})$ на каждом интервале:
— Возьмём $x = 10$ из правого интервала: $(10-2)(10-2-\sqrt{5}) = 8 \cdot (8-\sqrt{5})$. Так как $\sqrt{5} \approx 2,2$, это число положительное. Ставим знак «+».
— Возьмём $x = 3$ из среднего интервала: $(3-2)(3-2-\sqrt{5}) = 1 \cdot (1-\sqrt{5})$. Так как $1 < \sqrt{5}$, результат отрицательный. Ставим знак «−».
— Возьмём $x = 0$ из левого интервала: $(0-2)(0-2-\sqrt{5}) = (-2) \cdot (-2-\sqrt{5})$. Произведение двух отрицательных чисел положительно. Ставим знак «+».

Шаг 5. Выбор ответа.
Так как по условию выражение должно быть меньше нуля ($< 0$), нам подходит интервал, где стоит знак «−»:
$2 < x < 2 + \sqrt{5}$.

Ответ: $(2; 2 + \sqrt{5})$

Источник: ФИПИ